Question

Arătaţi că numărul N=2¹¹¹ + 3²²² + 4³³³ + 5⁴⁴⁴ + ... +9⁸⁸⁸ se divide cu 5​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

N = 2¹¹¹ + 3²²² + 4³³³ + 5⁴⁴⁴ + ... +9⁸⁸⁸ divizibil cu 5 ?

Pentru ca N sa se divida cu 5 calculam ultima cifra a lui N

aceasta trebuie sa fie 0 sau 5

u(2¹¹¹) = 8

u(2¹) = 2 ; u(2²) = 4 ; u(2³) = 8 ; u(2⁴) = 6

Acestea se repeta din 4 in 4

111 = 27·4 + 3 => u(2¹¹¹) = u(2³) = 8

u(3²²²) = 9

u(3¹) = 3 ; u(3²) = 9 ; u(3³) = 7 ; u(3⁴) = 1

Acestea se repeta din 4 in 4

222 = 55·4 + 2 => u(3²²²) = u(3²) = 9

u(4³³³) = 4

u(4¹) = 4 ; u(4²) = 6

Acestea se repeta din 2 in 2

333 = 166·2+1 => u(4³³³) = u(4¹) = 4

u(5⁴⁴⁴) = 5 ; orice putere a lui 5 se termina cu 5

u(6⁵⁵⁵) = 6 ;  orice putere a lui 6 se termina cu 6

u(7⁶⁶⁶) = 9

u(7¹) = 7 ; u(7²) = 9 ; u(7³) = 3 ; u(7⁴) = 1

Acestea se repeta din 4 in 4

666 = 166·4+2 => u(7⁶⁶⁶) = u(7²) = 9

u(8⁷⁷⁷) = 8

u(8¹) = 8 ; u(8²) = 4 ; u(8³) = 2 ; u(8⁴) = 6

Acestea se repeta din 4 in 4

777 = 194·4+1 => u(8⁷⁷⁷) = u(8¹) = 8

u(9⁸⁸⁸) =1

u(9¹) = 9 ; u(9²) = 1

Acestea se repeta din 2 in 2

888 = 444·2 => u(9⁸⁸⁸) = u(9²) = 1

u(N) = u(8+9+4+5+6+9+8+1) => u(N) = 0 =>

N  este divizibil cu 5