Question

Arătați ca numarul n= 4(3a la 2 - a + 5)(3a la 2 - a + 2) +9 este pătratul perfect al unui număr rational, oricare ar fi a aparține R!

Answer 1

$n = 4(3a^2-a+5)(3a^2-a+2)+9 \overset{(*)}{=} \\ \\ \text{Notam }3a^2-a+2 = A: \\ \\ \overset{(*)}{=}4(A+3)A + 9 = 4\cdot (A^2+3A)+9 = \\ = 4A^2+12A+9 = (2A+3)^2 \overset{(*)}{=} \\ \\ \text{Revenim la notatie:} \\ \\ \overset{(*)}{=} \Big(2(3a^2-a+2)+3\Big)^2 = (6a^2-2a+4+3)^2= \\ = (6a^2-2a+7)^2 \\ \\ \Rightarrow \text{Numarul n este patratul perfect al unui numar rational} \\ \text{oricare ar fi }a\in \mathbb{R}$