Question

aratati ca numarul N=7^n ori 9^n ori 21^n+1 ori 3^n minus 9 ori 63^n este divizibil cu 13, pentru oricare numar natural n

Answer 1

Răspuns: Ai demonstratia mai jos

Explicație pas cu pas:

Salutare!

$\bf N =7^{n} \cdot 9^{n} + 21^{n+1} \cdot 3^{n} -9 \cdot 63 ^{n}=$

$\bf N =7^{n} \cdot 9^{n} + 3^{n+1} \cdot 7^{n+1} \cdot 3^{n} -3^{2} \cdot 7^{n} \cdot 9^{n} =$

$\bf N =7^{n} \cdot (3^{2})^{n} + 3^{n+1+n} \cdot 7^{n+1} -3^{2} \cdot 7^{n} \cdot (3^{2})^{n} =$

$\bf N =7^{n} \cdot 3^{2n} + 3^{2n+1} \cdot 7^{n+1} -3^{2} \cdot 7^{n} \cdot 3^{2n} =$

$\bf N =7^{n} \cdot 3^{2n} + 3^{2n+1} \cdot 7^{n+1} -3^{2+2n} \cdot 7^{n} =$

$\bf N =7^{n} \cdot 3^{2n} \cdot(7^{n-n} \cdot 3^{2n-2n} + 3^{2n+1-2n} \cdot 7^{n+1-n} -3^{2n+2-2n} \cdot 7^{n-n}) =$

$\bf N =7^{n} \cdot 3^{2n} \cdot(7^{0} \cdot 3^{0} + 3^{1} \cdot 7^{1} -3^{2} \cdot 7^{0}) =$

$\bf N =7^{n} \cdot 3^{2n} \cdot(1 + 21 -9) =$

$\bf N =7^{n} \cdot 3^{2n} \cdot 13\implies N\:\: \vdots \:\:13$ , pentru oricare n ∈ NI

#copaceibrainly