Question

Arătați că numărul N<1, unde N=1/1-2 + 1/2-3 +1/3-4 +...+ 1/1999-2000 ​

Answer 1

Răspuns:

n<1

Explicație pas cu pas:

$n=\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+...+\frac{1}{1999*2000}\\n=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000}\\n=\frac{1}{1}-\frac{1}{2000}<1$

Explicatia mai in detaliu este ca orice fractie de genul $\frac{m}{a*b}$ poate fi scrisa ca o scadere de 2 fractii, atata timp cat m=b-a sau m=a-b (inmultirea este comutativa, deci ordinea termenilor nu are nicio importanta).

In cazul de fata $\frac{1}{1*2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$. Termenii se anuleaza unul cate unul pana ramane primul si ultimul termen.

Cum rezultatul e 1 minus o fractie subunitara, rezultatul va fi mai mic decat 1. Sau poti amplifica cele 2 fractii si va da o fractie subunitara, ceea ce inseamna ca rezultatul e mai mic decat 1.