Question

Aratati ca numarul T = $10^{1} + 10^{2} + 10^{3} + ... + 10^{n} + 9n^{2} -19n$ este multiplu de 27. n este numar natural

Answer 1

[tex]10^1+10^2+10^3+...+10^n+9n^2-18n-n=\\ (10^1-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+...+(10^n-1)+9n(n-2)=\\ 9+99+999+....+999...999+9n(n-2)=\\ 9(1+11+111+...+111...111+n(n-2))=\\ \text{ Este suficient sa aratam ca suma din paranteza este divizibila cu 3}\\ I.\ n=3k\\ \text{grupam termenii de forma 111...111 in grupe de cate 3. fiecare grupa}\\ \text{este divizibila cu 3 iar n(n-2) este divizibil cu 3}\\ II.\ n=3k+1\\ \text{grupam termenii de forma 111...111 in grupe de cate 3. incepand cu al }\\ \text{doilea} [/tex]
[tex]\text{fiecare grupa este divizibila cu 3 si n(n-2)+1 este divizibil cu 3}\\ III\ n=3k+2\\ \text{grupam termenii de forma 111...111 in grupe de cate 3, fiecare grupa}\\ \text{se divide cu 3, iar numarul n(n-2)+1+11 este divizibil cu 3.}[/tex]

Observatii:1. Cu inductie ar fi iesit mult mai simplu, dar problema e incadrata la gimnaziu.
2. Peste unele detalii ale demonstratiei am sarit, insa este o problema mai dificila sicred ca problemele mai dificile sunt postate de elevii buni. Asa ca sper ca ai sa intelegi. Daca totusi ai neclaritati adauga intrebari.