Question

Arătați că numărul
$x = 2 + 2 ^{2} + 2 ^{3} + ... + 2 ^{73}$
nu poate fi pătrat perfect.
Vă rog frumos ajutați-mă!

Answer 1

Răspuns:

Înmulțim toată relația cu 2, iar apoi adun și scad un 2 pentru a obține suma inițială în termenul drept

2x = 2² + 2³ +.....+ 2⁷⁴

2x = -2 +( 2 + 2² + 2³ + ...2⁷³) + 2⁷⁴

2x = - 2 + x + 2⁷⁴

2x- x = 2⁷⁴ -2

x = 2⁷⁴ - 2

2¹=2, 2²= 4, 2³= 8, 2⁴=16, 2⁵=32

ultima cifră se repetă la multimplu de 4

74= 4*18 + 2

u(2⁷⁴) =u( 2²) = 4

Deci, u(x) =u( 2⁷⁴ - 2) = u( 4-2) = 2

Un pătrat perfect poate avea ultima cifră 0,1,4,5,6,9

Așadar numărul X= 2⁷⁴-2 care are ultima cifră 2, NU poate fi pătrat perfect