Question

Aratati ca numarul x=5^2n+1 · 4^3n+2 + 10^2n+1 · 2^4n+1 este patrat perfect pentru orice numar n natural.

Answer 1

$5^{2n+1} * (2^2)^{3n+2} =5^{2n+1} * 2^{6n+4}$

$10^{2n+1} * 2^{4n+1} =(2*5)^{2n+1} * 2^{4n+1}=5^{2n+1} * 2^{2n+1+4n+1}$

$=5^{2n+1} * 2^{6n+2}$

dăm factor comun pe:
$=5^{2n+1} * 2^{6n+2}$

şi rămâne 2^2+1=5
deci final avem:

$=5^{2n+2} * 2^{6n+2}=(5^{n+1} * 2^{3n+1})^{2}$

care este pătrat perfect fiind ceva ridicat cu totul la puterea a 2-a