Question

Aratati ca numerele 1/b-a,1/2b,1/b-c cu a≠b,b≠c,b≠0, sunt in progresie aritmetica daca si numai daca a,b,c sunt in progresie geometrica.

Answer 1

aici ai rezolvarea daca nu intelegi cv din rezolvare, intreaba-ma

Answer 2

Dacă avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, atunci

 termenul din mijloc este egal cu media aritmetică a termenilor vecini.

În cazul nostru, avem:

$\ir \dfrac{1}{2b} = \dfrac{\dfrac{1}{b-a}+\dfrac{1}{b-c}}{2}|_{\cdot2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{b} =\dfrac{1}{b-a}+\dfrac{1}{b-c}$

Amplificăm prima fracție cu (b-a)(b-c), a doua cu b(b-c),

iar a treia cu b(b-a) și,  eliminând numitorii, avem:

(b-a)(b-c) = b(b-c) +b(b-a) ⇔ b²- bc- ab+ac = b²- bc+b²- ab

Reducem termenii asemenea și rezultă:

ac = b² ⇒ b² = ac ⇒ b = √ (ab) ⇒ b este medie geometrică

 a numerelor a și c ⇒ a, b, c sunt în progresie geometrică.