Question

Aratati ca numerele 8n+5 si 5n+3 , n∈ N sunt prime intre ele.

Answer 1

Pe 8n+5 il inmultim cu 5, iar pe 5n+3 il inmultim cu 8, astfel incat vor rezulta numerele 40n+25 si 40n+24.
40n+25 si 40n+24 sunt doua numere consecutive, iar cum 2 numere consecutive nu au niciun divizor comun, decat pe 1, rezulta ca sunt prime intre ele.

Answer 2

Sa incercam prin metoda reducerii la absurd , adica presupunem ca 
exista d ≠ 1 astfel ca d | 8n+5  si  d | 5n+3
                                     ↓                 ↓
                           d | 5*(8n+5) si  d | 8*(5n+3)
                                              ⇵
                           d | 40n+25 - 40n-24  ⇔  d | 1  
        ⇒  d = 1 contrar presupunerii , inseamna ca  (8n+5 ; 5n+3) = 1 ,
                                deci  numerele sunt prime intre ele !