Question

Arătați că numerele a și b sunt pătrate perfecte unde a = 1 + 3 + 5 + 111 și b = 1 + 3 + 5 + 2n 1 cu n număr natural dau coroană​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$a = 1 + 3 + 5 + ... + 111 =$

$= 1 + (1 + 2) + (1 + 4) + ... + (1 + 110)$

$= \underbrace{1 + 1 + ... + 1}_{56} + (2 + 4 + ... + 110)$

$= 56 + 2 \cdot (1 + 2 + ... + 55)$

$= 56 + 2 \cdot \dfrac{55 \cdot (55 + 1)}{2} = 56 + 2 \cdot \dfrac{55 \cdot 56}{2}$

$= 56 + 55 \cdot 56 = 56 \cdot (1 + 55)$

$= 56 \cdot 56 = \bf {56}^{2}$

.

$a = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) =$

$= 1 + (1 + 2) + (1 + 4) + ... + (1 + 2n - 2)$

$= \underbrace{1 + 1 + ... + 1}_{n} + [2 + 4 + ... + 2(n - 1)]$

$= n + 2 \cdot [1 + 2 + ... + (n - 1)]$

$= n + 2 \cdot \dfrac{(n - 1) \cdot (n - 1 + 1)}{2}$

$= n + 2 \cdot \dfrac{(n - 1) \cdot n}{2} = n + (n - 1) \cdot n$

$= n \cdot (1 + n - 1) = n \cdot n = \bf {n}^{2}$

q.e.d.