Question

Aratati ca numerele de forma:
a)a=2n+3 si b=5n+7
b)a=4n+9 si b=5n+11
c)2n+3 si b=3n+4
d)a=3n +13 si b=n+4
SUNT PRIME INTRE ELE, ORICARE AR FI n apartine N

Answer 1

1) sa aratam ca ((2n+3);(5n+7))=1
presupunem d divizor comun celor 2 numere
d|(2n+3) ⇒ d|5(2n+3) ⇒ d|(10n+15)
d|(5n+7) ⇒ d|2(5n+7) ⇒ d|(10n+14)
din ultimele relatii putem scrie:
d|(10n+15)-(10n+14) ⇒ d|1 ⇒ d=1 ⇒ numerele 2n+3 si 5n+7 sunt prime intre ele 

2)analog exemplului 1)
d|(4n+9)   ⇒ d|5(4n+9) ⇒ d|20n+45
d|(5n+11) ⇒ d|4(5n+11) ⇒ d|(20n+44 ⇒d|20n+45-20n-44 ⇒ d|1 ⇒ d=1

3)d|2n+3 ⇒ d|3(2n+3) ⇒ d|6n+9
   d|3n+4 ⇒ d|2(3n+4) ⇒ d|6n+8 ⇒ d|(6n+9)-(6n+8) ⇒ d|1 ⇒d=1

4)d|3n+13
   d|n+4 ⇒ d|3(n+4) ⇒ d|3n+12 ⇒ d|(3n+13)-(3n+12) ⇒d|1 ⇒ d=1

in toate exemplele am demonstrat ca singurul divizor comun al tuturor numerelor este 1 ceea ce ne spune ca numerele sunt prime intre ele.
am folosit proprietatile divizibilitatii:
daca d|a atunci d|ma, m∈N*
daca d|a si d|b si a>b atunci b|(a-b)