Question

Aratati ca numerele urmatoare nu pot fi patrate perfecte :
a) 2¹⁹⁸¹
b)2+4+6+.....+100

Answer 1

b) 2+4+6+.....+100 = 2(1+2+3+...+50)
=2*50(50+1)/2=2*50*51/2=2*2550/2=2*1275=2550
⇒2550=2*5^2*51  - nu e patrat perfect

a)2¹⁹⁸¹=Uc(2¹⁹⁸¹)=Uc(2⁴⁹⁵ˣ⁴⁺¹)=Uc(2¹)=2
- nu e patrat perfect

Answer 2

$a)\quad 2^{1981} este patrat perfect daca si numai daca puterea 1981 este \\ para, dar puterea 1981 este impara \Rightarrow 2^{1981} nu este patrat perfect.$


$b)\quad 2+4+6+...+100 = 2\times(1+2+3+...+50) = \\ \\ = 2\times\dfrac{50\times(50+1)}{2} = 50\times(50+1) = 50\times 51 = 25\times 2\times 51 = \\ \\ = 5^2\times 2^1\times 51^1 \\ \\ (2 si 51 sunt numere prime, deci, nu mai pot fi transformate astfel \\ incat puterea sa se modifice, ea poate fi doar 1, doar daca toti \\ factorii au puterea 2, acel numar este patrat perfect, dar \\ numarul are factorii cu puterile 2,1,1 \Rightarrow 50\cdot 51 nu este p.p.)$