Question

Aratati ca oricare ar fi 10 puncte distincte nu exista 44 de drepte care sa treaca prin cel putin cate doua din punctele respective

Answer 1

Salut,

Fie P₁, P₂, ..., Pₙ n puncte distincte 2 câte 2 și necoliniare 3 câte 3.

Două puncte distincte determină o singură dreaptă, și numai una.

Punctul P₁ determină cu celelalte n -- 1 puncte (n minus 1 puncte) exact n -- 1 drepte.

Apoi, P₂ determină cu celelalte n -- 1 puncte exact n -- 1 drepte și așa mai departe pentru punctele P₃, P₄, ..., Pₙ, deci am avea în total n·(n -- 1) drepte.

O observație importantă este că fiecare dintre aceste n·(n -- 1) drepte este considerată de 2 ori. De exemplu, am numărat o dată dreapta P₁P₂ și am numărat încă o dată aceeași dreaptă când am format dreptele pentru punctul P₂, adică P₂P₁. Este evident că dreapta P₁P₂ coincide perfect cu dreapta P₂P₁.

Asta înseamnă că numărul de drepte distincte/diferite este n·(n -- 1)/2.

Pentru n = 10, avem 10·9/2 = 45 de drepte distincte > 44.

Deci nu avem 44 de drepte, ci avem 45 de drepte.

Green eyes.