Question

Aratati ca oricare ar fi numerele naturale pentru care 2x-3y=4 numarul (x-3) (y+2) este divizibil cu 6

Answer 1

2x-3y=4

(x-3)(y+2)=
xy+2x-3y+6=
xy+4+6=
xy+10


2x-3y=4
2x-4=3y
2(x-2)=3y

3 nu este divizibil la 2, cu alte cuvinte y trebuie sa fie divizibil la 2.

Pentru ca y este divizibil la 2 îl scriem de forma:
y=2k,
cu condiția k nu este divizibil la 3 deoarece, y ar deveni divizibil la 6, xy ar deveni mai apoi divizibil la 6, iar xy+10 nu ar mai fi divizibil la 6

2(x-2)=3×2k
Împărțim totul la 2.

x-2=3k
x=3k+2
y=2k

xy=(3k+2)(2k)
xy=6×(k la puterea a doua)+4k=(multiplu de 6)+4k

k poate fi de doua forme:

k=3q+1
4k=(3q+1)×4=12q+4

(fals deoarece 10+4=14 nedivizibil la 6)


k=3q+2
4k=(3q+2)×4=12q+8=(multiplu de 6)+2

xy=(multiplu de 6)+(multiplu de 6)+2=(multiplu de 6)+2

xy+10=(multiplu de 6)+2+10 =(multiplu de 6)+12=multiplu de 6

Astfel am demonstrat ca (x-3)(y+2) este divizibil cu 6