Question

Aratati ca oricare ar fii cifrele a,b,c numarul M=abc+bca+cab+74 se divide cu 37

Answer 1

abc=100a+10b+c

descompui analog pe bca si pe cab

o sa obtii

M= 111(a+b+c)+2*37=3*37(a+b+c)+2*37, divizibil cu 37 ca suma de numere divizibile cu 37

Answer 2

$\it \overline{abc} + \overline{bca}+ \overline{cab} =100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b=\\ \\ = 111a+111b+111c =111(a+b+c) = 37\cdot3(a+b+c) \in M_{37} \ \ \ \ \ \ (1)\\ \\ 74=37\cdot2 \in M_{37} \ \ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1), (2) \Rightarrow m=\overline{abc} + \overline{bca}+ \overline{cab} +74 \in M_{37}\Rightarrow m\ \vdots\ 37$