Question

Arătați că oricum am alege 5 nr nat există cel puțin două care dau aceleași rest la împărțirea la 4
DAU COROANA DOAR ASTAZI ​

Answer 1

Folosesc notatia ,,a mod b" pentru restul impartirii lui a la b

Fie cele 5 numere alese a,b,c,d,e

$x \:mod \:y \in \{0,1,2,3,4,\cdots, y-1\}, \forall x \in \mathbb{N}\\\\x\:mod\:4 \in \{0,1,2,3\}, \forall x \in \mathbb{N}$

Sa presupunem ca putem alege 5 numere naturale cu proprietatea ca oricare 2 dau resturi diferite la impartirea la 4

Avem:

$a\: mod\: 4 = r_1\\\\b\:mod\: 4 = r_2\\\\c \:mod \:4 = r_3\\\\d\:mod\:4 = r_4\\\\e\:mod\:4 = r_5\\\\r_i \neq r_j, \forall i,j \in \{1,2,3,4,5\}\\\\\textrm{Dar }r_i \in \{0,1,2,3\}, \forall i \in \{1,2,3,4,5\}$

$\text{Fie }f:\{a,b,c,d,e\}\to \{0,1,2,3\}, f(x) = x\: mod\: 4$

Deoarece avem mai multe elemente in domeniul de definitie decat in codomeniu,

$\exists i,j \in \{a,b,c,d,e\}, i\neq j \text{ a.i. } f(i) = f(j)$

Atunci nu exista o metoda de a alege 5 numere cu proprietatea ca oricare 2 dintre ele dau resturi diferite la impartirea la 4