Question

Arătați că pentru oricare număr nenul n fiecare dintre fracțiile următoare este reductibilă.
a)
$\frac{2 {}^{4×n + 2} + 1 } {6 {}^{n } - 1 }$
b)
$\frac{3 {}^{4 \times n + 2} - 9 }{8 {}^{4 \times n + 2} + 1}$
c)
$\frac{n \times (n + 1) \times (n + 2)}{2013}$
Dau coroana! ​

Answer 1

Răspuns:

fracția este reductibilă

Explicație pas cu pas:

a)

$\frac{{2}^{4 \cdot n + 2} + 1 } {{6}^{n } - 1 }$

la numărător:

$u({2}^{4 \cdot n + 2} + 1) = u({2}^{4 \cdot n + 2}) + u(1) = u({2}^{4 \cdot n}\cdot {2}^{2}) + u(1) = u( {2}^{2} ) + u(1) = 4 + 1$

$\implies \: {2}^{4 \cdot n + 2} + 1 \ \vdots \ 5$

la numitor:

$({6}^{n } - 1) \ \vdots \ (6 - 1) = 5 \implies ({6}^{n } - 1) \ \vdots \ 5$

$\implies \frac{{2}^{4 \cdot n + 2} + 1 } {{6}^{n } - 1 } \bf \ \vdots \ 5$

=> fracția este reductibilă

b)

$\frac{{3}^{4 \cdot n + 2} - 9 }{{8}^{4 \cdot n + 2} + 1}$

la numărător:

$u({3}^{4 \cdot n + 2} - 9) = u({3}^{4 \cdot n + 2}) - u(9) = u({3}^{4 \cdot n} \cdot {3}^{2} ) - u(9) = u({3}^{2}) - u(9) = u(9) - u(9) = 9 - 9 = 0 \ \vdots \ 5$

$\implies {3}^{4 \cdot n + 2} - 9 \: \ \vdots \ 5$

la numitor:

$u({8}^{4 \cdot n + 2} + 1) = u({8}^{4 \cdot n + 2}) + u(1) = u({8}^{4 \cdot n}\cdot {8}^{2}) + u(1) = u({8}^{2}) + u(1) = u(64) + u(1) = 4 + 1 = 5 \ \vdots \ 5$

$\implies {8}^{4 \cdot n + 2} + 1 \: \ \vdots \ 5$

$\implies \frac{{3}^{4 \cdot n + 2} - 9 }{{8}^{4 \cdot n + 2} + 1} \bf \ \vdots \ 5$

=> fracția este reductibilă

c)

$\frac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{2013}$

la numărător: într-un produs de trei numere naturale consecutive, unul dintre ele este divizibil cu 3 => produsul a trei numere consecutive este divizibil cu 3

la numitor: 2013 = 3×671

$\implies \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{2013} \bf \ \vdots \ 3$

=> fracția este reductibilă