Question

Arătați că pentru oricare trei numere naturale consecutive cel puțin unul este divizibil cu 2 și cel puțin unul divizibil cu 3


va rog este urgent!

Dau coroana!!!!​

Answer 1

Trebuie demonstrat că:

n(n+1)(n+2) este multiplu de 6, oricare ar fi n aparține ℕ.

Voi demonstra prin inducție matematică.

P(k): k(k+1)(k+2) = M₆ (ipoteza)

P(1): 1•2•3 = M₆ (A)

P(2): 2•3•4 = M₆ (A)

P(k+1): (k+1)(k+1+1)(k+1+2) =

= (k+1)(k+2)(k+3) =

= k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2) =

= M₆ + 3(k+1)(k+2) ①

Pentru a continua trebuie să demonstrez și că (n+1)(n+2) = M₂, oricare ar fi n ∈ ℕ.

δ(k): (k+1)(k+2) = M₂ (ipoteza)

δ(1): 2•3 = M₂ (A)

δ(2): 3•4 = M₂ (A)

δ(k+1): (k+1+1)(k+2+1) =

= (k+1)(k+2) + k+1 + k+2 + 1 =

= M₂ + 2k + 4 =

= M₂ + 2(k+2) =

= M₂ + M₂ =

= M₂ (A) ②

Din ②, rezultă că:

① = M₆ + 3•M₂ = M₆ + M₆ = M₆ (A)

(q.e.d.)

⇒ Pentru orice trei numere naturale consecutive, cel puțin unul este divizibil cu 2 și cel puțin unul divizibil cu 3.