Question

Arătați ca pentru orice n aparține lui N†,fiecare dintre fr. următoare este reductibilă . Help pls :(

Answer 1

Ne uitam la numarator si observam regula
$3=2*1+1$
$5=2*2+1$
$7=2*3+1$
-----------------------
$2*n+1=2*n+1$
Adunam toate aceste egalitati
$3+5+7+...+(2n+1)=2*1+1+2*2+1+2*3+1+..+2*n+1=2(1+2+3+..+n)+1*n$
Ca sa obtinem numaratorul mai adunam in stanga si in dreapta cu 1
$1+3+5+7+...+(2*n+1)=1+n+2(1+2+3+..+n)$
Mai stim ca
$1+2+3+..+n=\frac{n(n+1)}{2}$
Atunci(notand numaratorul cu N)
$N=n+1+2*\frac{n(n+1)}{2}=(n+1)+n(n+1)=(n+1)(1+n)=(n+1)^{2}$
Sa ne ultam si numitorul ce formulare are
$2(1+2+3+..+n+1)=2*\frac{(n+1)(n+2)}{2}=(n+1)(n+2)$
Atunci fractia devine
$\frac{(n+1)^{2}}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$ Deci fractia este reductibila
e) $\frac{n^{2}+3n+2}{n^{2}+4n+3}=\frac{n^{2}+n+2n+2}{n^{2}+n+3n+3}=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{n(n+1)+3(n+1)}=\frac{(n+1)(n+2)}{(n+1)(n+3)}=\frac{n+2}{n+3}$ deci evident fractia este reductibila.