Question

Arătați că pentru orice n∈Ν fracția $\frac{5n + 7}{3n+4}$ este ireductibilă.

Answer 1

Presupunem prin reducere la absurd ca fractia data se simplifica prin d≠1.
d|(5n+7)=>d|3(5n+7)=>d|(15n+21)(1)
d|(3n+4)=>d|5(3n+4)=>d|(15n+20)(2)
Din (1)+(2)=>d|(15n+21-15n-20)=>d|1=>d=1(Fals)=>
presupunerea initiala este gresita=>nu exista numar prin care sa simplificam fractia=>fractia este ireductibila.

Answer 2

presupunem că fracția e reductibilă (se poate simplifica), adică există un divizor comun al numărătorului și al numitorului
d | (5n+7)    ⇒ d | 3(5n+7) = 15n +21     (1)
d | (3n+4)  ⇒ d | 5(3n+4) = 15n + 20   (2)
⇒ d |  [(1) - (2)] = (15n + 21) - (15n + 20) = 1 ⇒
⇒ daca divizorul comun = 1 ⇒ frac'ia este ireductibila