Question

Arătați că, pentru orice număr întreg n, numărul n^3-9n+27 nu e divizibil cu 81.

Answer 1

$Ok...~ \\ \\ Pentru~n=M_3 \pm 1~numarul~nu~este~divizibil~cu~3,~deci~ \\ \\ nu~este~divizibil~nici~cu~81. \\ \\ Pentru~n=3k~(k \in Z)~avem~: \\ \\ A =n^3-9n+27 =27(k^3-k+1) \\ \\ A~ \vdots~81 \Leftrightarrow k^3-k+1~ \vdots~3.\\ \\ Ramane~sa~demonstram~ca~k^3-k+1 \not \vdots~3 . \\ \\ i)~k=3p~(p \in Z) \Rightarrow evident. \\ \\ ii)~k=M_3+1 \Rightarrow k^3=M_3+1 \Rightarrow A=M_3+1. \\ \\ iii)~k=M_3+2 \Rightarrow k^3=M^3+8=M_3+2 \RIghtarrow A=M_3+1 \\ \\ ...gata!$