Arătați că pentru orice valoare a numărului natural "n" au loc relațiile:
a) (2n+1,3n+2)=1
b) (5n+3,3n+2)=1
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Pentru a demonstra că pentru orice valoare a numărului natural "n" au loc relațiile a) și b), trebuie să dovedim că niciunul dintre numerele 2n+1 și 3n+2, respectiv 5n+3 și 3n+2, nu au factori comuni mai mari decât 1.
Pentru relația a), putem începe prin a determina diferența dintre 2n+1 și 3n+2. Aceasta este (3n+2) - (2n+1) = n+1. Deoarece n+1 este un număr natural, putem continua procesul de divizare prin împărțirea sa la cei mai mici factori primi. Dacă n+1 nu este un număr prim, înseamnă că poate fi împărțit la un factor prim mai mic decât el însuși. Dacă n+1 poate fi împărțit la un factor prim mai mic decât el însuși, atunci și 2n+1 și 3n+2 pot fi împărțite la același factor prim, ceea ce înseamnă că au un divizor comun mai mare decât 1. Dacă n+1 este un număr prim, înseamnă că nu poate fi împărțit la niciun factor prim mai mic decât el însuși, ceea ce înseamnă că 2n+1 și 3n+2 nu au niciun divizor comun mai mare decât 1. Prin urmare, pentru orice valoare a lui n, (2n+1,3n+2)=1.
Procedăm în mod similar pentru relația b). Diferența dintre 5n+3 și 3n+2 este (5n+3) - (3n+2) = 2n+1. Din nou, acest număr este un număr natural, deci putem continua procesul de divizare prin împărțirea sa la cei mai mici factori primi. Dacă 2n+1 nu este un număr prim, înseamnă că poate fi împărțit la un factor prim mai mic decât el însuși. Dacă 2n+1 poate fi împărțit la un factor prim mai mic decât el însuși, atunci și 5n+3 și 3n+2 pot fi împărțite la acelaș
Explicație pas cu pas:
a)
presupunem că numerele nu sunt prime între ele => au un divizor comun
d | (2n+1) => d | 3×(2n+1) <=> d | (6n+3)
d | (3n+2) => d | 2×(3n+2) <=> d | (6n+4)
atunci d divide și diferența:
d | (6n+4-6n-3) <=> d | 1 => numerele sunt prime între ele
b)
presupunem că numerele nu sunt prime între ele => au un divizor comun
d | (5n+3) => d | 3×(5n+3) <=> d | (15n+9)
d | (3n+2) => d | 5×(3n+2) <=> d | (15n+10)
atunci d divide și diferența:
d | (15n+10-15n-9) <=> d | 1 => numerele sunt prime între ele