Matematică, întrebare adresată de alexageorgescu008, 8 ani în urmă

Arătați că pentru orice valoare a numărului natural "n" au loc relațiile:
a) (2n+1,3n+2)=1
b) (5n+3,3n+2)=1​

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de homanstefan4
1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Pentru a demonstra că pentru orice valoare a numărului natural "n" au loc relațiile a) și b), trebuie să dovedim că niciunul dintre numerele 2n+1 și 3n+2, respectiv 5n+3 și 3n+2, nu au factori comuni mai mari decât 1.

Pentru relația a), putem începe prin a determina diferența dintre 2n+1 și 3n+2. Aceasta este (3n+2) - (2n+1) = n+1. Deoarece n+1 este un număr natural, putem continua procesul de divizare prin împărțirea sa la cei mai mici factori primi. Dacă n+1 nu este un număr prim, înseamnă că poate fi împărțit la un factor prim mai mic decât el însuși. Dacă n+1 poate fi împărțit la un factor prim mai mic decât el însuși, atunci și 2n+1 și 3n+2 pot fi împărțite la același factor prim, ceea ce înseamnă că au un divizor comun mai mare decât 1. Dacă n+1 este un număr prim, înseamnă că nu poate fi împărțit la niciun factor prim mai mic decât el însuși, ceea ce înseamnă că 2n+1 și 3n+2 nu au niciun divizor comun mai mare decât 1. Prin urmare, pentru orice valoare a lui n, (2n+1,3n+2)=1.

Procedăm în mod similar pentru relația b). Diferența dintre 5n+3 și 3n+2 este (5n+3) - (3n+2) = 2n+1. Din nou, acest număr este un număr natural, deci putem continua procesul de divizare prin împărțirea sa la cei mai mici factori primi. Dacă 2n+1 nu este un număr prim, înseamnă că poate fi împărțit la un factor prim mai mic decât el însuși. Dacă 2n+1 poate fi împărțit la un factor prim mai mic decât el însuși, atunci și 5n+3 și 3n+2 pot fi împărțite la acelaș

Răspuns de andyilye
0

Explicație pas cu pas:

a)

presupunem că numerele nu sunt prime între ele => au un divizor comun

d | (2n+1) => d | 3×(2n+1) <=> d | (6n+3)

d | (3n+2) => d | 2×(3n+2) <=> d | (6n+4)

atunci d divide și diferența:

d | (6n+4-6n-3) <=> d | 1 => numerele sunt prime între ele

b)

presupunem că numerele nu sunt prime între ele => au un divizor comun

d | (5n+3) => d | 3×(5n+3) <=> d | (15n+9)

d | (3n+2) => d | 5×(3n+2) <=> d | (15n+10)

atunci d divide și diferența:

d | (15n+10-15n-9) <=> d | 1 => numerele sunt prime între ele

q.e.d.

Alte întrebări interesante