Question

Arătați că polinomul f nu are toate rădăcinile reale. f= x^{3}-2 x^{2}+2x+m

Answer 1

fie f(x)=x³-2x²+2x+m
atunci f'(x)=3x²-4x+2
ecuatia asociata f'(x)=0 are Δ=16-4*2*3=16-24=-8<0 deci functia f'(x) va avea semnul lui 3 ,adica + , pe tot R
adica f'(x)>0 ∀x∈R⇒ f(x) crescatoare pe R
deci injectiva ,
cum lim f(x) cand x->-∞=-∞ si lim cand x->∞ f(x) =∞, f(x) surjectiva pe R
deci f(x) bijectiva
deci f(x) va lua valoarea 0 o data si doar o data, indiferent de valoarea lui m (de fapt m duce doar la o translatie pe Oy)
 asadar f(x) =0 are o singura radacina reala (si 2 complexe conjugate)