Question

Arătați că prima zecimala a părții fracționare a numărului x este 4. Unde $x=\sqrt{n^{2}+n},~n~\in~\mathbb{N}$

Answer 1

Vom arăta că:

[tex]\it n+0,4 \ \textless \ \sqrt{n^2+n}\ \textless \ n+0,5 \\\;\\ I)\ n+0,4 \ \textless \ \sqrt{n^2+n} \Leftrightarrow(n+0,4)^2 \ \textless \ (\sqrt{n^2+n})^2 \Leftrightarrow\\\;\\ \Leftrightarrow n^2+0,8n+0,16 \ \textless \ n^2+n\Leftrightarrow0,8n+0,16 \ \textless \ n|_{\cdot100} \Leftrightarrow[/tex]

$\it \Leftrightarrow80n+16\ \textless \ 100n \Leftrightarrow16\ \textless \ 100n-80n \Leftrightarrow16\ \textless \ 20n\Leftrightarrow\\\;\\ \Leftrightarrow20n \ \textgreater \ 16\ \ (A)$

[tex]II) \ \it \sqrt{n^2+n}\ \textless \ n+0,5 \ \Leftrightarrow (\sqrt{n^2+n})^2\ \textless \ (n+0,5)^2 \Leftrightarrow \\\;\\ \Leftrightarrow n^2+n\ \textless \ n^2+n+0,25 \Leftrightarrow 0\ \textless \ 0,25\ \ (A)[/tex]