Question

Arătați că produsul a trei numere consecutive se divide cu 6.

Answer 1

Fie cele 3 numere consecutive: a, a + 1 si a + 2, si P = a(a + 1)(a + 2)

Ca sa aratam ca produsul a trei numere consecutive se divide cu 6, trebuie sa aratam ca se divide cu 2 si cu 3, pentru ca 6 = 2 * 3.

Ca un produs de factori intregi sa se divida cu un numar prim k, cel putin unul din factori trebuie sa fie divizibil cu k. Astfel, noi stim sigur ca 6 * x * y este divizibil cu 2, pentru ca 6 este divizibil cu 2. (x, y - numere naturale)

Numerele divizibile cu 2 se gasesc din 2 in 2 (ex: 2, 4, 6, 8). Asta inseamna ca printre doua numere consecutive, unul dintre ele sigur este divizibil cu 2. ==> Printre cele 3 numere a, a + 1, a + 2, cel putin unul dintre ele este divizibil cu 2 ==> Si produsul a(a+1)(a+2) este divizibil cu 2.

Numerele divizibile cu 3 se gasesc din 3 in 3 (3, 6, 9, 12) ==> Printre 3 numere consecutive, unul dintre ele sigur este divizibil cu 3 ==> Produsul a(a+1)(a+2) este divizibil cu 3, pentru ca are un factor divizibil cu 3.

Am demonstrat ca P este divizibil cu 2 si 3 ==> este divizibil si cu 6 = 2 * 3