Question

aratati ca radical din 3 nu apartine {a+b radical din 2 | a,b€ Z}​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

presuopunem prin absurd ca apartine

atunci exista a, b∈Z asa fel incat

√3 =a+b√2

dar a,b∈Z⊂Q

si √2 si√3∈ R\Q

agaland partile rationala si irationala, obtinem

a=0∈Z

b=√3/√2=√6/2∈R\Q

dar am presupus b∈Q

deci contradictie

deci presupunerea noastra este falsa

deci este adevarata contra ei, ca nu exista b ,

deci nu exista a si b⇔cerinta

Answer 2

Răspuns:

Presupunem ca $\sqrt 3 = a +b\sqrt 2$ pentru $a,b\in\mathbb Z$. Ridicand la patrat, rezulta $3=a^2+2ab\sqrt 2 +b^2$, rezulta ca $2ab\sqrt 2 = 3-a^2-b^2$.

Cum $\sqrt 2\notin \mathbb Q$, rezulta $2ab=0$ si $3=a^2+b^2$ (*).

2ab=0 => a=0 sau b =0.

Daca a=0 => $b^2=3$ => $b=\sqrt 3$ fals.

Daca b=0 => $a^2=3$ => $a=\sqrt 3$ fals.

Deci am obtinut o contradictie. Rezulta ca presupunerea facuta este falsa, deci $\sqrt 3$ nu apartine multimii...

(*) Daca $2ab\neq 0$ ar rezulta $\sqrt 2 = \frac{3-a^2-b^2}{2ab}\in\mathbb Q$, contradictie cu faptul ca $\sqrt 2\notin \mathbb Q$.