Question

Aratati ca radicalul √a·b·c·d+1 are sens pt oricare nr intregi consecutive a,b,c,d.Mai mult,√a·b·c·d+1∈Q

Answer 1

Trebuie demonstrat ca abcd+1≥0, pentru orice a,b,c,d intregi consecutive
Distingem urmatoarele situatii:
1.a,b,c,d sunt toate strict negative. In acest caz produsul lor este stict pozitiv.
2.a,b,c,d sunt toate strict pozitive. In acest caz produsul lor este stict pozitiv.
3. Sunt si numere negative si numere pozitive printre a,b,c,d. In acest caz , deoarece numerele sunt consecutive, cel putin unul dintre ele este 0 deci produsul lor este 0, iar abcd+1=1

Deoarece a,b,c,d sunt consecuttive, putem nota:
b=a+1, c=a+2, d=a+3
abcd+1=a(a+1)(a+2)(a+3)-1=[a(a+3)][(a+1)(a+2)]+1=(a²+3a)(a²+3a+2)+1=
(a²+3a+1-1)(a²+3a+1+1)+1=(a²2+3a+1)²-1²+1=(a²+3a+1)²
Decia abcd+1 este patrat perfect si √abcd+1∈Q