Question

Arătați că succesorul produsului a patru numere naturale consecutive este pătrat perfect.

Answer 1

$x(x+1)(x+2)(x+3)+1 =$
=$( x^{2} + x)( x^{2} +5x+6)+1=$
=$x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2} + x^{3}+5 x^{2} +6x+1=$
=$x^{4} + 6 x^{3} +11 x^{2} +6x+1=$
=$( x^{2} +3x+1)^{2}$ => patrat perfect

Answer 2

x(x+1)(x+2)(x+3) + 1 =
= x(x+3)(x+1)(x+2) + 1 
= (x²+3x)(x²+2x+x+2) + 1 
= (x²+3x)(x²+3x+2) + 1 

Notam x²+3x cu t:

= t(t+2) + 1
= t^2+2t+1
= (t+1)²

Revenim la notatie:

= (x²+3x+1)² → pătrat perfect.