Question

Arătați că
${10}^{2012} - 7$
este divizibil cu 3.​

Answer 1

Regula: Ca un numar sa fie divizibil cu 3, acesta trebuie sa aiba suma cifrelor sale divizibila deasemenea cu 3.

10^n va avea întotdeauna n+1 cifre pentru oricare n∈N

Exemplu: 10²=100, unde n=2 iar numarul cifrelor este n+1, 2+1=3

10⁵=100000, unde n=5 iar numarul cifrelor este 6.

Deci 10²⁰¹² va avea 2013 cifre

Acum, 10^n - a, unde 1≤a≤9, va avea acelasi numar de cifre ca n

Exemplu: 10²-5 = 100-5 = 95, unde n=2, iar rezultatul final are deasemenea 2 cifre.

10⁴-7 = 10000 - 7 = 9993 unde n=4 iar numarul cifrelor este tot 4.

Deci 10²⁰¹²-7 = 2013 cifre - o cifra = 999...93 care are 2012 cifre.

Dintre cele 2012 cifre, una este cifra 3, iar restul de 2011 sunt cifra 9.

Sa aflam daca este divizibil cu 3:

9+9+9+...+9+3

(2011 de "9") (1 de "3")

=> 9×2011+3=18099+3=18102

18102÷3=6034 => 10²⁰¹⁷-7 este divizibil cu 3.