Question

Aratati ca $3^{33}+ 4^{33}+ 5^{33}< 6^{33}$, va rog de clasa a VI-a.

Answer 1

Sa incercam ceva cat mai simplu posibil:
$3^{33}+ 4^{33} + 5^{33}< 6^{33} <=> \frac{ 3^{33} }{ 6^{33} }+ \frac{ 4^{33} }{ 6^{33} }+ \frac{ 5^{33} }{ 6^{33} } <1$
$=>( \frac{3}{6} )^{33}+( \frac{4}{6} )^{33}+( \frac{5}{6})^{33}<1$
Vom lua puterile pe rand:
$\frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{12}{6}=2>1$
$(\frac{3}{6}) ^{2} +( \frac{4}{6} )^{2}+( \frac{5}{6})^{2} = \frac{50}{36} >1$
$( \frac{3}{6}) ^{3}+( \frac{4}{6} )^{3}+( \frac{5}{6} )^{3} =1$
Pentru exponent 4 vedem ca suma din membrul stang va fi egala cu 962/1296 < 1, de aici rezulta cerinta din enunt.
Generalizand, pentru n>3:
$3^{n}+ 4^{n}+ 5^{n}< 6^{n}$