Question

Aratati ca:
[tex] \sqrt{2} ; \sqrt{3} ; 5+ \sqrt{3} ; 3 \sqrt{2}; 5+11 \sqrt{3}
[/tex] sunt numere irationale.

Answer 1

Sa presupunem prin absurd ca $\sqrt{2}$ ar fi rational,
Atunci el ar putea fi scris sub forma de fractie adica
rad(2)=a/b cu a,b in Z*(multimea numerelor intregi fara 0)
Ridicand la patrat avem 2=a^2/b^2
pentru care nu exista nici o pereche de numere intregi care sa satisfaca relatia.
 Deci presupunerea facuta ca rad(2) ar fi rational este falsa.
Deci rad(2) este irational.

In mod analog presupunem ca rad(3) ar fi rational, rezulta ca el se poate scrie sub forma de fractie
rad(3)=a/b, cu a si b in Z si ridicand la patrat avem
3=a^2/b^2 pentru care nu sunt solutii in Z.
Deci presupunere falsa, deci rad(3) este irational

Se stie ca suma si/sau produsul dintre un nr rational si unul irational este intotdeauna un nr irational deci si celelalte 3 sunt irationale.

Succes!