Question

Arătați că $\sqrt{3n+2}$ și $\sqrt{4n+3}$ sunt numere iraționale, pentru orice număr natural n.

Answer 1

Orice număr natural se poate scrie sub una din formele:

3k,  3k+1,  3k+2, unde k∈ ℕ.

Ridicăm la pătrat și obținem:

(3k)^2 = 9k^2 = 3·3k² = 3n

(3k+1)^2 = 9k² +6k+1 = 3·(3k²+2k) +1= 3n+1

(3k+2)² = 9k² +12k + 4 = 9k² +12k + 3+1 = 3·(3k²+12k+1) +1 = 3n+1

Am arătat că pătratul oricărui număr natural poate fi de forma 3n sau 3n+1.

Prin urmare dacă un număr natural este de forma 3n+2, atunci acesta nu este pătrar perfect.
 
Rezultă că √(3n+2)∉ ℚ.

___________________________

Orice număr natural se poate scrie sub una din formele:

4k,  4k+1,  4k+2, 4k+3, unde k∈ ℕ.

Ridicăm la pătrat și obținem:

(4k)^2 = 16k^2 = 4·4k² = 4n

(4k+1)^2 = 16k² +8k+1 = 4·(4k²+2k) +1= 4n+1

(4k+2)² = 16k² +16k + 4 = 4·(4k² +4k + 1) = 4n

(4k+3)² = 16k²+24k+9 = 16k²+24k+8+1 = 4·(4k²+6 k +1) +1 = 4n+1

Am arătat că pătratul oricărui număr natural poate fi de forma 4n sau 4n+1.

Prin urmare dacă un număr natural este de forma 4n+3, atunci acesta nu este pătrar perfect.
 
Rezultă că √(4n+3)∉ ℚ.