Arătaţi că următoarele expresii sunt pozitive, oricare ar fi numărul real x:
A. a) x² + 2x + 3;
b) x2 + 6x + 11;
c) x2 + 12x + 39;
d) 4x² + 12x + 13; e) 9x2 + 24x + 19; f) 25x2 + 30x + 17.
B. a) 2x2 + 12x + 23; b) 2x – 16x + 35; c) 2x2 - 8x +9;
d) 2x2 + 7x + 11;
e) 2x2 + 5x + 9;
f) 2x2 + 3x +7.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Aratam ca graficul functiei data de fiecare expresie nu intersecteaza axa Oy( adica expresia nu este egala cu zero, deci este fie pozitiva, fie negativa) si ca pentru una din valorile lui x, functia (sau expresia) are valoarea pozitiva.
Pentru aceasta, punem conditia ca fiecare expresie sa fie egala cu 0, si aratam ca nu are solutii in multimea numerelor reale, adica discriminantul este mai mic decat 0
A.
a)
x² + 2x + 3 = 0
Δ = 2² - 4*1*3 = 4 - 12 = -8 < 0 ⇒ ecuatia nu are solutii reale, deci expresia nu este egala cu zero, cu alte cuvinte este fie pozitiva, fie negativa, oricare ar fi numarul real x.
Cum pentru x= 0, expresia este 0^2 + 2*0 + 3 = 3 > 0 , rezulta ca expresia este mai mare decat zero, oricare ar fi numarul real x.
b)
x² + 6x + 11 = 0
Δ = 6² - 4*1*11 = 36 - 44 = -8 < 0 ⇒ ecuatia nu are solutii reale, deci expresia nu este egala cu zero, cu alte cuvinte este fie pozitiva, fie negativa, oricare ar fi numarul real x.
Cum pentru x= 0, expresia este 0^2 + 6*0 + 11 = 11 > 0 , rezulta ca expresia este mai mare decat zero, oricare ar fi numarul real x.
c)
x² + 12x + 39 = 0
Δ = 12² - 4*1*39 = 144 - 156 = -12 < 0 ⇒ ecuatia nu are solutii reale, deci expresia nu este egala cu zero, cu alte cuvinte este fie pozitiva, fie negativa, oricare ar fi numarul real x.
Cum pentru x= 0, expresia este 0^2 + 12*0 + 39 = 39 > 0 , rezulta ca expresia este mai mare decat zero, oricare ar fi numarul real x.
d)
4x² + 12x + 13 = 0
Δ = 12² - 4*4*13 = 144 - 208 = -64 < 0 ⇒ ecuatia nu are solutii reale, deci expresia nu este egala cu zero, cu alte cuvinte este fie pozitiva, fie negativa, oricare ar fi numarul real x.
Cum pentru x= 0, expresia este 4*0^2 + 12*0 + 13 = 13 > 0 , rezulta ca expresia este mai mare decat zero, oricare ar fi numarul real x.
e)
9x² + 24x + 19 = 0
Δ = 24² - 4*9*19 = 576 - 684 = -108 < 0 ⇒ ecuatia nu are solutii reale, deci expresia nu este egala cu zero, cu alte cuvinte este fie pozitiva, fie negativa, oricare ar fi numarul real x.
Cum pentru x= 0, expresia este 9*0^2 + 24*0 + 19 = 19 > 0 , rezulta ca expresia este mai mare decat zero, oricare ar fi numarul real x.
f)
25x² + 30x + 17 = 0
Δ = 30² - 4*25*17 = 900 - 1700 = -800 < 0 ⇒ ecuatia nu are solutii reale, deci expresia nu este egala cu zero, cu alte cuvinte este fie pozitiva, fie negativa, oricare ar fi numarul real x.
Cum pentru x= 0, expresia este 25*0^2 + 30*0 + 17 = 17 > 0 , rezulta ca expresia este mai mare decat zero, oricare ar fi numarul real x.
B.
a)
2x² + 12x + 23 = 0
Δ = 12² - 4*2*23 = 1444 - 184 = -40 < 0 ⇒ ecuatia nu are solutii reale, deci expresia nu este egala cu zero, cu alte cuvinte este fie pozitiva, fie negativa, oricare ar fi numarul real x.
Cum pentru x= 0, expresia este 2*0^2 + 12*0 + 23 = 23 > 0 , rezulta ca expresia este mai mare decat zero, oricare ar fi numarul real x.
b)
2x² - 16x + 35 = 0
Δ = (-16)² - 4*2*35 = 256 - 280 = -24 < 0 ⇒ ecuatia nu are solutii reale, deci expresia nu este egala cu zero, cu alte cuvinte este fie pozitiva, fie negativa, oricare ar fi numarul real x.
Cum pentru x= 0, expresia este 2*0^2 - 16*0 + 35 = 35 > 0 , rezulta ca expresia este mai mare decat zero, oricare ar fi numarul real x.
c)
2x² - 8x + 9 = 0
Δ = (-8)² - 4*2*9 = 64 - 72 = -8 < 0 ⇒ ecuatia nu are solutii reale, deci expresia nu este egala cu zero, cu alte cuvinte este fie pozitiva, fie negativa, oricare ar fi numarul real x.
Cum pentru x= 0, expresia este 2*0^2 - 8*0 + 9 = 9 > 0 , rezulta ca expresia este mai mare decat zero, oricare ar fi numarul real x.
d)
2x² + 7x + 11 = 0
Δ = 7² - 4*2*11 = 49 - 88 = -39 < 0 ⇒ ecuatia nu are solutii reale, deci expresia nu este egala cu zero, cu alte cuvinte este fie pozitiva, fie negativa, oricare ar fi numarul real x.
Cum pentru x= 0, expresia este 2*0^2 + 7*0 + 11 = 11 > 0 , rezulta ca expresia este mai mare decat zero, oricare ar fi numarul real x.
d)
2x² + 5x + 9 = 0
Δ = 5² - 4*2*9 = 25 - 72 = -47 < 0 ⇒ ecuatia nu are solutii reale, deci expresia nu este egala cu zero, cu alte cuvinte este fie pozitiva, fie negativa, oricare ar fi numarul real x.
Cum pentru x= 0, expresia este 2*0^2 + 5*0 + 9 = 9 > 0 , rezulta ca expresia este mai mare decat zero, oricare ar fi numarul real x.
e)
2x² + 3x + 7 = 0
Δ = 3² - 4*2*7 = 9 - 56 = -47 < 0 ⇒ ecuatia nu are solutii reale, deci expresia nu este egala cu zero, cu alte cuvinte este fie pozitiva, fie negativa, oricare ar fi numarul real x.
Cum pentru x= 0, expresia este 2*0^2 + 3*0 + 7 = 7 > 0 , rezulta ca expresia este mai mare decat zero, oricare ar fi numarul real x.