Question

Aratati ca urmatoarele expresii sunt pozitive,oricare ar fi x apartine lui R:
a) x²-4x+6

b) 4x²-12x+10

c) 9x²+24x=17

d) 25x²+30x+11

Answer 1

Scopul acestui exercițiu este să te folosești de formulele:
${(x + y)}^{2} = {x}^{2} + 2xy + {y}^{2} \\ {(x - y)}^{2} = {x}^{2} - 2xy + {y}^{2}$
Pentru a face pătrate de numere. Adică să te folosești de faptul că orice număr real la puterea a doua este pozitiv.
Faci acest lucru astfel:
a)
${x}^{2} - 4x + 6 = {x}^{2} - 4x + 4 + 2 = {x}^{2} - 2 \times 2 \times x + {2}^{2} + 2 = {(x - 2)}^{2} + 2$
Am aplicat formula a doua pentru y=2.
Cum
${(x - 2)}^{2} > 0$
Atunci
${(x - 2)}^{2} + 2 > 0$
b)
$4 {x}^{2} - 12x + 10 = {(2x)}^{2} - 12x + 9 + 1 = {(2x)}^{2} + 2 \times 2x\times 3 + {3}^{2} + 1 = {(2x - 3)}^{2} + 1$
Am aplicat formula a doua pentru x=2x și y=3.
Cum
${(2x - 3)}^{2} > 0$
Atunci
${(2x - 3)}^{2} + 1> 0$


c)
$9 {x}^{2} + 24x + 17 = {(3x)}^{2} + 24x + 16 + 1 = {(3x)}^{2} + 24x + {4}^{2} + 1 = {(3x + 4)}^{2} + 1$
Am aplicat prima formulă pentru x=3x și y=4.
Cum
${(3x + 4)}^{2} > 0$
Și
${(3x + 4)}^{2} + 1 > 0$
d)
$25 {x}^{2} + 30x + 11 = {(5x)}^{2} + 2 \times 5x \times 3 + 9 + 2 = {(5x)}^{2} + 2 \times 3 \times 5x + {3}^{2} + 2 = {(5x + 3)}^{2} + 2$
Am aplicat prima formula pentru x=5x și y=3.
Cum
${(5x + 3)}^{2} > 0$
Și
${(5x + 3)}^{2} + 2 > 0$