Question

Aratati ca urmatoarele fractii sunt ireductibile pentru orice valoare naturala a lui n:

Answer 1

a) Presupunem ca exista un numar d∈N care se divide si cu numaratorul dar si cu numitorul.
d|3n+7⇒d|6n+14
d|2n+5⇒d| 6n+15
Scadem:d|6n+14-6n-15
              d| -1⇒ Fractia este ireductibila∀ n∈N

b)Se face analog ca subpunctul a: 
d|-6n+5 ⇒d |-42n+35
d|  7n-6 ⇒d | 42n-36
Adunam: d| -42n+35+42n-36
               d| -1 ⇒Fraqctia este ireductibila.

c)d|8n+3  ⇒d | 40n+15
   d|10n+4⇒d | 40n+16
Scadem:  d | 40n+15-40n -16
                d | -1 ⇒ Fractia este ireducitibila.
Observatie: Am folosit urmatoarea proprietate:
Daca a | b ,atunc a| b*n ∀ n∈Z