Question

Aratati ca urmatoarele numere naturale se divid cu 2:

a) 17la puterea10-7la puterea 10;
b) 105la puterea 19+33la puterea17+101la puterea23+57la puterea52;
c) 1+11+111+........+11....1
2012 cifre.

Answer 1

a) 17¹⁰-7¹⁰
Uc(17¹⁰-7¹⁰)=Uc(17¹⁰-Uc(7¹⁰)=Uc(7¹⁰)-Uc(7¹⁰)=0  
 deci un nr care se termina in 0 este divizibil cu 2


b) 105¹⁹+33¹⁷+101²³+57⁵²
Uc(105¹⁹)=Uc(5¹⁹)=5
Uc(33¹⁷)=Uc(3¹⁷)=Uc(3⁴ˣ⁴⁺¹=Uc(3¹)=3
Uc(101²³)=Uc(1²³)=1
Uc(57⁵²)=Uc(7⁵²)=Uc(7¹³ˣ⁴)=Uc(7⁴)=Uc(2401)=1
Uc(105¹⁹+33¹⁷+101²³+57⁵²)=Uc(5+3+1+1)=Uc)10)=0

 deci un nr care se termina in 0 este divizibil cu 2


c) 1+11+111+........+11....1  2012 cifre
avem 2012 termeni
daca ii grupam 2 cate 2  vom avea 1+11 = 12  (nr par)
111+1111=1222 nr par   si asa mai departe
o suma de numere  pare este un numar par deci divizibil cu 2