Question

Arătați ca următoarele numere nu sunt pătrat perfect , studiind ultima cifra : a) 324587 ; b) 2 la puterea 458 + 2 la puterea 455 ; c) 3 la puterea 28 + 3 la puterea 27 ; d) 328 la puterea 25 ; e) 4 la puterea 2013 - 4 la puterea 2012 ; f) 132 • 5674 ; g) 3 la puterea 4n + 1 • 4 ; h) 654 la puterea 7 + 543 la puterea 21.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Numele naturale care au cifra unităților (ultima cifră) egală cu 2, 3, 7 sau 8 nu sunt pătrate perfecte

a)

324587 → ultima cifră 7 → nu este pătrat perfect

b)

2⁴⁵⁸ + 2⁴⁵⁵ = 2⁴⁵⁵×(2³+1) = 9×2⁴⁵⁵

u(2⁴⁵⁵) = u(2⁴⁵²×2³) = u((2⁴)¹¹³×2³) = u(2³) = u(8) = 8

=> u(2⁴⁵⁸ + 2⁴⁵⁵) = u(9×2⁴⁵⁵) = u(u(9)×u(2⁴⁵⁵)) = u(9×8) = u(72) = 2 → ultima cifră 2 → nu este pătrat perfect

c)

3²⁸ + 3²⁷ = 3²⁷×(3+1) = 4×3²⁷

u(3²⁷) = u(3²⁴×3³) = u((3⁴)⁶×3³) = u(3³) = u(27) = 7

=> u(4×3²⁷) = u(u(4)×u(3²⁷)) = u(4×7) = u(28) = 8 → ultima cifră 8 → nu este pătrat perfect

d)

u(328²⁵) = u(8²⁵) = u((8⁴)⁶×8¹) = u(8) = 8 → ultima cifră 8 → nu este pătrat perfect

e)

4²⁰¹³ - 4²⁰¹² = 4²⁰¹²×(4-1) = 3×4²⁰¹²

u(4²⁰¹²) = u((4²)¹⁰⁰⁶) = u(4²) = u(16) = 6

=> u(4²⁰¹³ - 4²⁰¹²) = u(3×4²⁰¹²) = u(u(3)×u(4²⁰¹²)) = u(3×6) = u(18) = 8 → ultima cifră 8 → nu este pătrat perfect

f)

u(132 • 5674) = u(u(132) • u(5674)) = u(2 • 4) = u(8) = 8 → ultima cifră 8 → nu este pătrat perfect

g)

$u({3}^{4n + 1} \cdot 4) = u(u({3}^{4n + 1}) \cdot u(4)) = u(u(3) \cdot u(4)) = u(3 \cdot 4) = u(12) = 2$

→ ultima cifră 2 → nu este pătrat perfect

h)

u(654⁷ + 543²¹) = u(u(654⁷) + u(543²¹)) = u(u(4⁷) + u(3²¹)) = u(u((4³)²×4) + u((3⁴)⁵×3)) = u(u(4) + u(3)) = u(4 + 3) = u(7) = 7 → ultima cifră 7 → nu este pătrat perfect