Arătați că următoarele numere nu sunt pătrate perfecte, folosind ultima cifră.
a) 2083 • 544
b) 78 • 49 • 54
c) 32^75
d) 4^2013 - 3^2012
e) 2^458 + 2^455
Dau coroană!
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
pentru pp folosind ultima cifra avem:
U(1^2)=1, U(2^2)=4; U(3^2)=9, U(4^2)=6, U(5^2)=5, U(6^2)=6, U(7^2)=9, U(8^2)=4,U(9^2)=1. deci ultima cifra a unui pătrat perfect (pp) pote fi una dintre {1,4,5,6,9}
și acum sa vedem calculele:
a) U(2083)=3 și U(544)=4 atunci U(2083)×U(544)=U(3×4)=2 deci nu e pp
b) U(78)*U(49)×U(54)=U(8*9*4)=8 - nu e pp
c) U(32^75)= 8 - nu e pp
explicație:
aici vedem puterile lui ultimei cifre a bazei ce perioada au.
2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32 - vedem ca se repete ultima cifră cu o perioada fe 4 ( din 4 în 4 )
atunci avem de împărțit exponentul la 4 și vedem ce rest ne rămâne. 75÷4=18 rest 3 și ultima cifra va fi la fel cu a lui 2^3= 8
d) U(4^2013-3^2012)=U(4^2013)-U(3^2012)=4-1=3 - nu e pp
4^1=4,4^2=16,4^3=64 - perioada de 2 => 2013÷2= 1006 r 1
3^1=3,3^2=93^3=27;3^4=1 - per de 4 => 2012÷4=503 rest 0
e) U(2^458+2^455)=U(2^458)+U(2^455)=U(4+8)=2 - nu e pp
458÷4=114 rest 2; 455÷4=113 rest 3