Question

Aratati ca urmatoarele numere nu sunt rationale:
1) √3
2)√5
3)√7
4)1+√2
5)√2+√3

Answer 1

Presupunem prin absurd ca √3 este un numar rational (pozitiv).
Il scriem atunci sub forma de fractie *ireductibila*
√3 = a/b,   unde a,b sunt numere naturale nenule.
ridicam la patrat si inmultim cu numitorul b*b:
3 b*b = a*a .
3 este un numar prin care divide a*a,
deci divide pe cel putin unul din factori ⇒deci 3 divide a. 
rezulta ca  a = 3a' cu a' natural nenul si dam de
3 b*b = 3a' 3a' .
bb = 3 a'a' .
Deci 3-ul din membrul drept divide produsul b.b, deci pe cel putin unul din factori, deci 3 divide b.
Am ajuns la concluzia ca 3 divide atat a, cat si b,
deci fractia ireductibila a/b cu care am plecat este de fapt reductibila.
Contradictie. Deci √3 este un numar irational.
Presupunerea  facuta este deci falsa.

Presupunem prin absurd ca √5 este un numar rational (pozitiv).
Il scriem atunci sub forma de fractie *ireductibila*
√5 = a/b,   unde a,b sunt numere naturale nenule.
ridicam la patrat si inmultim cu numitorul b*b:
5 b*b = a*a .
5 este un numar prin care divide a*a,
deci divide pe cel putin unul din factori ⇒deci 5 divide a. 
rezulta ca  a = 5a' cu a' natural nenul si dam de
5 b*b = 5a' 5a' .
bb = 5 a'a' .
Deci 5-ul din membrul drept divide produsul b.b, deci pe cel putin unul din factori, deci 5 divide b.
Am ajuns la concluzia ca 5 divide atat a, cat si b,
deci fractia ireductibila a/b cu care am plecat este de fapt reductibila.
Contradictie.Deci √5 este un numar irational.
Presupunerea facuta este deci falsa.

Presupunem prin absurd ca √7 este un numar rational (pozitiv).
Il scriem atunci sub forma de fractie *ireductibila*
√7 = a/b,   unde a,b sunt numere naturale nenule.
ridicam la patrat si inmultim cu numitorul b*b:
7 b*b = a*a .
7 este un numar prin care divide a*a,
deci divide pe cel putin unul din factori ⇒deci 7 divide a. 
rezulta ca  a = 7a' cu a' natural nenul si dam de
7 b*b = 7a' 7a' .
bb = 7 a'a' .
Deci 7-ul din membrul drept divide produsul b.b, deci pe cel putin unul din factori, deci 7 divide b.
Am ajuns la concluzia ca 7 divide atat a, cat si b,
deci fractia ireductibila a/b cu care am plecat este de fapt reductibila.
Contradictie.Deci √7 este un numar irational.
Presupunerea facuta este deci falsa.

Presupunem prin absurd ca 1 + √2 este numar rational.
Atunci scazand 1 din el dam tot de un numar rational.
Deci √2 este numar rational. Contradictie cu cele aratate la mai sus la √3 sau√5 sau √7
Deci 1 + √2 este un numar irational.
Presupunerea facuta este deci falsa.

 Presupunem prin absurd ca 
√2 + √3    este un numar rational.
Il inmultim cu el insusi si obtinem tot un numar rational pentru ca produsul a doua numere rationale este rational.
Deci  2 + 2√6 +3 =5+2√6  este un numar rational.
Scadem 5 si impartim la doi pentru a da de un nou numar rational √6

De acum aici putem proceda ca la celelalte nr  dinainte avand grija sa ne legam de divizibilitatea cu un numar prim, de exemplu cu 2 sau 3 intr-o relatie de forma 2.3.b.b = a.a 
Obtinem  contradictia.
Presupunerea  facuta este deci falsa.
Deci √2 + √3 este un numar irational.