Question

Aratati ca urmatoarele numere sunt irationale : a=radical din 6 la n + 1
b=rsdical din 25n+3
c=radical din 1×2×3×-×30+8
d=radical din 1×2×3×-×50

Answer 1

Pentru orice putere naturala nenula de-a lui 6 ultima cifra va fi 6.
u.c(6ⁿ)=6
u.c(6ⁿ+1)=6+1=7⇒7 nu este ultima cifra de patrat perfect deci
√6ⁿ+1 ∉Q .
Pentru 25n ultima cifra poate fi 0 (n=par) sau 5 (n=impar)
Daca n=par atunci u.c(25n+3)=0+3=3 ⇒3 nu este ultima cifra de patrat perfect. (1).
Daca n=impar atunci u.c(25n+3)=5+3=8⇒8 nu este ultima cifra de patrat perfect. (2).
Din (1) si (2)⇒√25n+3 ∉Q .
Produsul 1·2·3·...·30 se numeste produs factorial si are ca ultima 0 deoarece acesta contine multiplii de 10 sau produsul dintre un numar par nenul 2;4;6 sau 8 cu 5.
Asadar u.c(1·2·3·...·30+8)=0+8=8⇒8 nu este ultima cifra de patrat perfect deci
√1·2·3·...·30+8 ∉Q .
Un produs factorial de forma 1·2·3·....·n (n∈N) nu poate fi scris ca un patrat perfect chiar daca are ca ultima cifra 0 (pentru n≥5) deci
√1·2·3·...·50 ∉Q .