Question

Aratati ca urmatoarele numere sunt patrate perfecte:
a)s=2(1+2+3+...+2010)+2011;
b)x=1+3+5+7+...+2011;
c)y=7^202+7^201+7^200*44;
d)z=5+4*5+4*5^2+4*5^3+...+4*5^11

Answer 1

a)2*2010*2011/2+2011
2010*2011+2011
2011*(2010+1)
2011*2011=2011^(2)
b) 1+2+...2011-2+4+...+2010
2011*2012/2-2*(1+2+...+1005)
2011*1006-1005*1006/2
2011*1006-1005*503
503*(2011*2-1005)
503*3017 idk
c)
7^(200)*(7^(2)+7+44)
7^(200)*100
7laputerea100totullaadoua*10^(2)

Answer 2

a)
S=2*(1+2+3+.....+2010)+2011
S=2*[2010*(2010+1)/2]+2011
S=2010*2011+2011
S=2011*(2010+1)
S=2011*2011
S=2011^2⇒patrat perfect
Formula pentru a calcula numerele consecutive: 1+2+3+...+n=n*(n+1)/2
unde n este ultimul termen al sumei
b)
x=1+3+5+7+....+2011
Formula pentru a calcula nr. impare consecutive: 1+3+5+7+....+2n-1=n^2
unde n este ultimul termen al sumei
2n-1=2011 => 2n=2011+1 => 2n=2012 => n=2012:2 => n=1006
x=1006^2⇒patrat perfect
c)
y=7^202+7^201+7^200*44
y=7^200*(7^2+7^1+44)
y=7^200*(49+7+44)
y=7^200*(56+44)
y=7^200*100
y=(7^100)^2*10^2⇒patrat perfect
d)
z=5+4*5+4*5^2+4*5^3+.....+4*5^11
z=5+4*5^1+4*5^2+4*5^3+....+4*5^11
z=5+4*5*(5^0+5^1+5^2+5^3+....+5^10)
z=5+20*(5^0+5^1+5^2+5^3+...+5^10)
z=(20+5)*5^10
z=25*5^10
z=5^2*5^10
z=5^(2+10)
z=5^12
z=5^(6*2)
z=(5^6)^2⇒patrat perfect
Sper ca te-am ajutat!