Question

arătați că următoarele numere sunt prime între ele
A=n^3-n^2+1 și B=n^3+n^2+1

Answer 1

Presupunem ca A si B nu sunt prime intre ele. Asadar, exista un numar natural d diferit de 1 astfel incat d sa divida si pe A si pe B:

d | A
d | B

Stim ca daca d | x si d | y, atunci:
   d | (x + y)
   d | (x - y)
   d | k * x  (k este intreg)

Adunam A si B:

d | (A + B)
d | ((n³ + n² + 1) + (n³ - n² + 1))

d | 2(n³ + 1)

Vom scadea A si B:

d | (B - A)
d | ((n³ + n² + 1) - (n³ - n² + 1))    ==>   d | (n³ + n² + 1 - n³ + n² - 1)

d | 2n² 

A = n²(n - 1) + 1
Stim ca daca n este par, atunci (n - 1) este impar, iar daca n este impar, atunci (n - 1) este par. Asadar, in orice caz, unul din numerele n² si (n-1) este par. Stim ca un numar par inmultit cu orice alt numar intreg va fi par.
 Deci produsul n²(n - 1) este par, iar n²(n - 1) + 1 este impar

A este impar.

In acelasi mod, demonstram ca B este si el impar.

A si B nu sunt divizibile cu 2. Asta inseamna ca nici divizorii lor nu poit fi divizibili cu 2, deci d nu este divizibil cu 2. Si cum 2 este prim:

(d, 2) = 1

Asa ca putem scapa de acest 2, deoarece stim ca nu se afla in descompunerea lui d:
d | 2(n³ + 1)  ==>  d | (n³ + 1)
d | 2n²  ==>  d | n²


Am spus la inceput ca daca d | n², atunci d | k * n² (k este intreg). Daca k = n, atunci:

d | n * n²  ==>  d | n³  (1)
d | (n³ + 1)  (2)

Din (2) il scadem pe (1):
d | ((n³  + 1) - n³)   ==>   d | 1

Asadar, d este un divizor al lui 1, dar cum singurul divizor natural al lui 1 este chiar 1,  inseamna ca d = 1. Contradictie cu presupunerea facuta la inceput, deci presupunerea este falsa.

A si B sunt prime intre ele.