Question

Aratati ca urmatoarele perechi de numere naturale nenule a si b sunt prime intre ele pentru orice n€N. a=3n+8;b=2n+5.

Answer 1

Facem presupunerea ca a si b NU sunt prime intre ele.
Atunci exista un numar d, divizor comun a lui a si b, d ≠ 1
astfel incat
d I (3n+8) si d I (2n+5)    

 - d divide pe (3n + 8) si d divide pe (2n + 5)

⇒ d I 2 × (3n + 8)     si    d I 3 ×(2n + 5)
dar d divide si diferenta lor :

⇒ d I [ 2(3n + 8) - 3(2n + 5) ]
⇒ d I (6n+16 -6n-15)
⇒ d I 1 ⇒ d = 1 ⇒ contradicţie
Presupunerea de la care am pornit este falsa deci inseamna ca a si b sunt prime intre ele