Question

Aratati ca urmatoarele siruri au limita 0:

1) $x_{n}=\frac{2^{n}+3^{n} }{n*4^{n} }$ , n∈N*

2) $x_{n}=\frac{cos (1)+ cos (2^{2})+...+cos (n^{2}) }{n^{2} }$ , n∈N*

Answer 1

Răspuns:

1)xn=(2ⁿ+3ⁿ)/n*4ⁿ=

(2ⁿ+3ⁿ)/4ⁿ*1/n=

Fie l1=(2ⁿ+3ⁿ/4ⁿ

dai factor comun fortat pe 3ⁿ

l1=3ⁿ*[(2/3)ⁿ+1]/4ⁿ=(3/4)ⁿ*[(2/3)ⁿ+1]

lim(3/4)ⁿ=0 deoarece 3/4 este numar subunitar

lim(2/3)ⁿ=0 din acelasi motiv=>

l1=0*(0+1)=0*1=0

l2=lim1/n=0=>

limxn=l1*l2=0*0=0

------------------------------------------

2)xn=(cos1+cos2²+...+cosn²)/n²

-1<cos1<1

-1<cos2²<1

.......................

-1<cosn²<1 Adui inegalitatile termen cu termen

-1-1-...-1(n ori)<cos1+cos²+...+cosn²<1+1+...+1 de n ori

-n<cos1+cos2²+...+cosn²<n

Imparti inegalitatile la n²

-n/n²<xn<n/n

-1/n<xn<1/n
Treci la limita

lim(-1/n)<lim xn<1/n

0<limxn<0=>

lim xn=0

Explicație pas cu pas: