Question

Aratati ca x este un numar natural patrat perfect: a) x=1+2+3+...+49 b) x=1+3+5+...+81 c) x=1+3+5+...+2013 d) x=2+4+6+...+2012+1007.

Answer 1

a)x=1+2+3+...+49 =49×50/2=49×25=7²×5²=(7×5)²=35²

b) x=1+3+5+...+81 =1+2+3+4+5+6+...+80+81-2-4-6-...-80=
=81×82/2-2(1+2+3+...+40)=81×41-2×40×41/2=81×41-40×41=41×(81-40)=
=41×41=41²
c) x=1+3+5+...+2013 =1+2+3+4+5+6+...+2012+2013-2-4-6-...-2012=
=2013×2014/2-2(1+2+3+...+1006)=2013×1007-2×1006×1007/2=
=2013×1007-1006×1007=1007×(2013-1006)=1007×1007=1007²

d)x=2+4+6+...+2012+1007=2(1+2+3+...+1006)+1007=
=2×1006×1007/2+1007=1006×1007+1007=1007(1006+1)=
=1007×1007=1007²

Answer 2

a)
x=1+2+3+...+49
x=49·50/2
x=49·25=7²·5²=35² ⇒patrat perfect
b)
x=1+3+5+...+81
x=82·41/2=41·41=41²⇒patrat perfect
c)
x=1+3+5+...+2013
x=2014·1007/2=1007·1007=1007²⇒patrat perfect
d)
x=2+4+6+.....+2012+1007
x=2(1+2+3+....1006)+1007
x=2·1006·1007/2+1007
x=1006·1007+1007
x=1007·(1006+1)
x=1007·1007
x=1007²⇒patrat perfect