Question

Aratati ca:
x+y/(1+x+y) < x/(1+x) + y/(1+y)

Answer 1

Daca x, y, sunt numere reale, pozitive :

x / (1+x+y) < x / (1+x)             inegalitate evidenta
y / (1+x+y) < y / (1+y)             inegalitate evidenta
              ↓
      le adunam :

⇒ (x+y) / (1+x+y) < x / (1+x) +y /(1+y)

O sa pun aici si rezolvarea de la d) pe care ai cerut-o in alta postare :

Pentru x,y numere reale, pozitive, sa se arate ca :

(x+y)( 1/x +1/y) ≥ 4
⇔ (x+y)(x+y / xy) ≥4
⇔ (x+y)² / xy ≥4
⇔ (x+y)² ≥ 4xy
⇔ x²+y²+2xy -4xy≥0
⇔ x²-2xy+y² ≥0
⇒(x-y)² ≥0