Question

Aratati daca a este patrat perfect:
a=1+3+5+...+95

Answer 1

a=1+3+5+...+95

 vom aplica metoda contorului. Pentru aceasta trebuie sa observam din cat in cat cresc numerele. In cazul de fata cresc din 2 in 2.

Vom scrie fiecare numar din cadrul sumei ca fiind un produs de 2 * y + 1, unde y va diferi de la un numar la altul, iar 2, care este contorul, sta pe loc. Prin urmare vom avea:

1 = 2 * 0 + 1
3 = 2 * 1 + 1
5 = 2 * 2 + 1
.
.
.
95 = 2 * 47 + 1
S = (2 * 0 + 1) + (2 * 1 + 1) + (2 * 2 + 1) + .... + (2 * 47 + 1)
Desfacem parantezele si regrupam termenii adunarii astfel:

S = 2 * 0 + 2 * 1 + 2 * 2 + .... + 2 * 49 + 1 + 1 + 1 + ... + 1

1 se aduna de 48  de ori (pentru ca numarul cu care s-a inmultit 2 la ultimul termen al sumei, si anume 95, este 47, iar pentru ca adunarea nu a pornit din 1 ci din 0, se mai adauga inca 1 => 48)

Dam factor comun pe 2:
S = 0 + 2 * (1+2+3+ ... + 47) +48

(1+2+3+ ... + 47)-suma Gauus s=[n(n+1)]:2

S = 2 * (47 * 48) : 2 + 48

S = 2304

pentru a vedea daca 2304 este patrat perfect, extragem radicalul

[tex] \sqrt{2304}=48 [/tex]

2304=48*48 -  patrat perfect