Question

arăți ca a=2+2^2+......2^100 se divide prin 3

Answer 1

   
[tex]a=2+2^2+\cdots+2^{100} \\ \\ \text{Rescriem sirul cu mai multi termeni: } \\ \\ a = 2^1 + 2^2 + 2^3 +2^4+ 2^5 + 2^6 + \cdots + 2^{99}+2^{100} \\ \\ \text{Numarul termenilor sirului, "n", este dat de sirul exponentilor.} \\ \\ \Longrightarrow ~~ n = 100 ~\text{de termeni} \\ \\ \text{Observam ca suma primilor doi termeni se divide cu 3.} \\ \\ 2^1 + 2^2 = 2 + 4 = 6~ \vdots ~3 [/tex]


[tex]\text{Grupam termenii sirului in grupe de cate 2 termeni.} \\ \\ \text{Putem grupa cate 2 deoarece sirul are 100 de termeni si }100~\vdots~2. \\ \\ a = (2^1 + 2^2) + (2^3 +2^4)+ (2^5 + 2^6) + \cdots + (2^{99}+2^{100}) =\\ \\ =2^1(2^0+2^1)+2^3(2^0+2^1)+2^5(2^0+2^1)+\cdots+2^{99}(2^{0}+2^{1}) = \\ \\ =2^1(1+2)+2^3(1+2)+2^5(1+2)+\cdots+2^{99}(1+2) = \\ \\ =2^1 \times 3+2^3 \times 3+2^5 \times 3+\cdots+2^{99} \times 3= \\ \\ =3(2^1 +2^3 +2^5+\cdots+2^{99} ) ~\vdots~3[/tex]