Question

Are cineva idee cum se face?
[tex]N= \sqrt{ x^{2} +6x+25} + \sqrt{ 2y^{2} +8y+24}
[/tex]
a) aflați valoarea minimă a lui N
b) aflați valorile lui x și y pentru care se obține această valoare minimă

Answer 1

[tex]N=\sqrt{x^2+6x+25}+\sqrt{2y^2+8y+24}\\ a)x^2+6x+25=(x+3)^2+16\\ (x+3)^2 \geq 0|+16\\ (x+3)^2+16 \geq 16\\ \sqrt{(x+3)^2+16} \geq 4\\ ...............................\\ 2y^2+8y+24=2(y+2)^2+16\\ 2(y+2)^2 \geq 0|+16\\ 2(y+2)^2+16 \geq 16\\ \sqrt{2(y+2)^2+16} \geq 4\\ \sqrt{(x+3)^2+16} \geq 4\\ ................................+\\ \sqrt{(x+3)^2+16}+\sqrt{2(y+2)^2+16} \geq 8\\ Deci: N\geq 8\\ \\ b)Egalitatea\ se\ atinge\ atunci\ cand:\\ \sqrt{(x+3)^2+16}=4|()^2\\ (x+3)^2+16=16\\ [/tex]
[tex]x+3=0\Rightarrow \boxed{x=-3}\\ \sqrt{2(y+2)^2+16} =4\\ 2(y+2)^2+16=16\\ 2(y+2)^2=0\\ y+2=0\Rightarrow \boxed{y=-2}[/tex]