Question

are este rezultatul calculului 4+6+8+10+...+202

Answer 1

$\displaystyle 4+6+8+10+...+202 \\ \\ 202=4+(n-1) \times 2 \\ \\ 202=4+2n-2 \\ \\ 2n=202-4+2 \\ \\ 2n=200 \\ \\ n= \frac{200}{2} \\ \\ n=100$

$\displaystyle S_{100}= \frac{8+99 \times 2}{2} \times 100 \\ \\S_{100}= \frac{8+198}{2} \times 100 \\ \\ S_{100}= \frac{206}{2} \times 100 \\ \\ S_{100}=103 \times 100 \\ \\ S_{100}=10300$

Answer 2

$S=4+6+8+10+....+202$
Aceasta suma nu este una Gauss, pentru ca numerele nu sunt consecutive si nici nu pleaca din 1. De asemenea, observam ca nu putem da niciun factor comun. Prin urmare vom aplica metoda contorului. Pentru aceasta trebuie sa observam din cat in cat cresc numerele. In cazul de fata cresc din 2 in 2. Vom scrie fiecare numar din cadrul sumei ca fiind un produs de 2*y+4, unde y va diferi de la un numar la altul, iar 2, care este contorul, sta pe loc. Prin urmare vom avea:
4=2*0+4
6=2*1+4
8=2*2+4
10=2*3+4
..............
................
.................
................
202=2*99+4
$S=(2*0+4)+(2*1+4)+(2*2+4)+(2*3+4)+......+(2*99+4)$
Desfacem parantezele si regrupam termenii adunarii astfel:
$S=2*0+2*1+2*2+2*3+....+2*99+4+4+4+4+....+4$
4 se aduna de 100 de ori (pentru ca numarul cu care s-a inmultit 2 la ultimul termen al sumei, si anume 202, este 99, iar pentru ca adunarea nu a pornit din 1 ci din 0, se mai adauga inca 1 => 100)
Dam factor comun pe 2:
$S=0+2*(1+2+3+.....+99)+4*100 \\ S=2*(\frac{99*(99+1)}{2})+400 \\ S=2*(\frac{99*100}{2}+400 \\ S=2*(\frac{9900}{2})+400 \\ S=2*4950+400 \\ S=9900+400 \\ S=10300$